Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Glattes Nullstellengebilde/Riemannsche Fläche/Holomorphe zweite Projektion/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die Abbildung

$t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots +a_{1}t+a_{0}\colon X\times {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x,t)\longmapsto t^{n}+a_{n-1}(x)t^{n-1}+\cdots +a_{1}(x)t+a_{0}(x).$

Wenn man ${}X$ lokal durch eine Karte mit dem offenen Kartenbild ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ beschreibt, so liegt eine komplex-differenzierbare Abbildung

$\psi \colon U\times {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

in den komplexen Variablen ${}z$ und ${}t$ vor, wobei ${}z$ einen lokalen Parameter von ${}U$ bezeichne. Das Nullstellengebilde ${}V$ ist die Faser von ${}\psi$ über dem Nullpunkt ${}0\in {\mathbb {C} }$. Die beiden partiellen Ableitungen von ${}\psi$ sind

${}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}(z,t)={\frac {\partial a_{n-1}(z)}{\partial z}}t^{n-1}+\cdots +{\frac {\partial a_{1}(z)}{\partial z}}t+{\frac {\partial a_{0}(z)}{\partial z}}\,$

und

${}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}(z,t)=nt^{n-1}+(n-1)a_{n-1}(z)t^{n-2}+\cdots +2a_{2}(z)t+a_{1}(z)\,.$

Ein Punkt ${}(x,t)\in U\times {\mathbb {C} }$ ist genau dann ein regulärer Punkt für ${}\psi$, wenn zumindest eine der beiden partiellen Ableitungen in diesem Punkt nicht verschwindet. Deshalb ist das glatte Nullstellengebilde ${}W$ nach Definition die Menge der regulären Punkte zu ${}\psi$. Der Satz über implizite Abbildungen zeigt, dass die Faser ${}V$ lokal in jedem regulären Punkt homöomorph zu einer offenen Teilmenge von ${}{\mathbb {C} }$ ist, und dass diese Homöomorphismen durch komplex-differenzierbare Abbildungen nach ${}U\times {\mathbb {C} }$ gegeben sind. Somit liegt auf ${}W$ die Struktur einer eindimensionalen komplexen Mannigfaltigkeit vor, also eine riemannsche Fläche. Die Holomorphie der beiden Abbildungen ergibt sich ebenfalls aus dem Satz über implizite Abbildungen.

Zur bewiesenen Aussage