Riemannsche Flächen/Basisfläche/Unverzweigte Überlagerung/Meromorphe Funktion/Elementarsymmetrische Funktionen/Fakt/Beweis

Beweis

Auf einer offenen Menge ${}U\subseteq X$ mit der formulierten Eigenschaft kann man ${}f_{i}$ über ${}f_{i}\circ \pi$ auch als Funktionen auf ${}\pi ^{-1}(U)$ auffassen, die invariant unter der Vertauschung der Kopien oberhalb von ${}U$ sind. Die Funktionen ${}E_{j}(f_{1},\ldots ,f_{n})$ sind aufgefasst auf ${}\pi ^{-1}(U)$ ebenfalls invariant unter einer Vertauschung der Indizes ${}i$ und man kann sie daher unmittelbar als meromorphe Funktionen auf ${}U$ auffassen. Zu einer anderen offenen Menge mit der formulierten Eigenschaft erhält man jeweils die gleiche Funktion, da die Nummerierung der Urbilder keine Rolle spielt.

Zur bewiesenen Aussage