Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Kompakt/Surjektiv/Aufgabe/Lösung

Das Bild ${}\varphi (X)$ ist als stetiges Bild des kompakten Raumes ${}X$ kompakt und damit, da ${}Y$ hausdorffsch ist, nach Fakt auch abgeschlossen. Andererseits ist das Bild ${}\varphi (X)$ nach Fakt auch offen. Deshalb ist ${}\varphi (X)$ sowohl offen als auch abgeschlossen, was innerhalb des zusammenhängenden Raumes ${}Y$ bedeutet, dass ${}\varphi (X)$ der Gesamtraum ist, also ${}\varphi (X)=Y$.

Somit ist ${}\varphi$ surjektiv und ${}Y$ ist als Bild kompakt.

Zur gelösten Aufgabe