Riemannsche Flächen/Kompakt/Basisfläche/Endliche Körpererweiterung/Fakt/Beweis

Beweis

Die Abschätzung, dass der Grad der Körpererweiterung höchstens ${}n$ ist, wurde in Fakt bewiesen.

Es sei nun

${}{\mathcal {M}}(Y)={\mathcal {M}}(X)[g]\,$

und es ist zu zeigen, dass das Minimalpolynom von ${}g$ den Grad ${}n$ besitzt. Angenommen, das Minimalpolynom

${}H=T^{m}+a_{m-1}T^{m-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}\,$

mit ${}a_{j}\in {\mathcal {M}}(X)$ (aufgefasst in ${}{\mathcal {M}}(Y)$) hat Grad ${}m<n$. Es sei ${}Q\in X$ ein Punkt, über dem keine Verzweigung stattfindet, wo die ${}a_{j}$ holomorph sind und worüber ${}g$ holomorph ist. Es gibt dann Urbildpunkte ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in Y$. Diese erfüllen die Gleichung

${}0=H(g)(P_{i})={\left(\sum _{j=0}^{m}a_{j}g^{j}\right)}(P_{i})=\sum _{j=0}^{m}a_{j}(P_{i})g^{j}(P_{i})=\sum _{j=0}^{m}a_{j}(Q)g(P_{i})^{j}\,.$

D.h. die Punkte ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ haben die Eigenschaft, dass alle Werte ${}g(P_{i})$ Nullstellen des Polynoms ${}\sum _{j=0}^{m}a_{j}(Q)T^{j}$ sind. Da es nur ${}m$ Nullstellen gibt, muss beispielsweise ${}g(P_{1})=g(P_{2})$ sein. Da ${}g$ jedoch zusammen mit ${}{\mathcal {M}}(X)$ den Körper der meromorphen Funktionen auf ${}Y$ erzeugt, haben ${}P_{1}$ und ${}P_{2}$ für beliebige meromorphe Funktionen den gleichen Wert. Doch das widerspricht dem Beweis von Fakt.

Zur bewiesenen Aussage