Riemannsche Flächen/Kompakt/Basisfläche/Endliche Körpererweiterung/Fakt/Beweis

Beweis

Die Abschätzung, dass der Grad der Körpererweiterung höchstens ist, wurde in Fakt bewiesen.

Es sei nun

und es ist zu zeigen, dass das Minimalpolynom von den Grad besitzt. Angenommen, das Minimalpolynom

mit (aufgefasst in ) hat Grad . Es sei ein Punkt, über dem keine Verzweigung stattfindet, wo die holomorph sind und worüber holomorph ist. Es gibt dann Urbildpunkte . Diese erfüllen die Gleichung

D.h. die Punkte haben die Eigenschaft, dass alle Werte Nullstellen des Polynoms sind. Da es nur Nullstellen gibt, muss beispielsweise sein. Da jedoch zusammen mit den Körper der meromorphen Funktionen auf erzeugt, haben und für beliebige meromorphe Funktionen den gleichen Wert. Doch das widerspricht dem Beweis von Fakt.