Ringhomomorphismus/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund von Fakt gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon T\longrightarrow S,$

der die Eigenschaften erfüllt. Es ist also lediglich noch zu zeigen, dass ${}{\tilde {\varphi }}$ auch die Multiplikation respektiert. Es seien dazu ${}t,t'\in T$, und diese seien repräsentiert durch ${}r$ bzw. ${}r'$ aus ${}R$. Dann wird ${}tt'$ durch ${}rr'$ repräsentiert und daher ist

${}{\tilde {\varphi }}(tt')=\varphi (rr')=\varphi (r)\varphi (r')={\tilde {\varphi }}(t){\tilde {\varphi }}(t')\,.$

Ferner ist

${}{\tilde {\varphi }}(1)={\tilde {\varphi }}(\psi (1))=\varphi (1)=1\,.$

Zur bewiesenen Aussage