Ringtheorie/Ring/Ausführlich/Definition

Ring

Eine Menge ${}R$ heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

$+:R\times R\longrightarrow R{\text{ und }}\cdot :R\times R\longrightarrow R$

und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente ${}0,1\in R$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Axiome der Addition
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in R$ gilt ${}(a+b)+c=a+(b+c)$.
   2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in R$ gilt ${}a+b=b+a$.
   3. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ${}a\in R$ ist ${}a+0=a$.
   4. Existenz des Negativen: Zu jedem ${}a\in R$ gibt es ein Element ${}b\in R$ mit ${}a+b=0$.
2. Axiome der Multiplikation
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in R$ gilt ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
   2. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${}a\in R$ ist ${}a\cdot 1=1\cdot a=a$.
3. Distributivgesetz: Für alle ${}a,b,c\in R$ gilt ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und ${}(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$.