Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}R$ und ${}S$ Ringe. Eine Abbildung

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:

1. ${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$.
2. ${}\varphi (1)=1$.
3. ${}\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$.

Ein Ringhomomorphismus ist also zugleich ein Gruppenhomomorphismus für die additive Struktur und ein Monoidhomomorphismus für die multiplikative Struktur. Einen bijektiven Ringhomomorphismus nennt man einen Ringisomorphismus, und zwei Ringe heißen isomorph, wenn es einen Ringisomorphismus zwischen ihnen gibt. Ein Ringisomorphismus eines Ringes auf sich selbst heißt Ringautomorphismus. Wenn ${}R$ und ${}S$ Körper sind, so spricht man manchmal auch von einem Körperhomomorphismus statt von einem Ringhomomorphismus. Dieser hat aber keine zusätzlichen Eigenschaften.

Die konstante Abbildung ${}R\rightarrow 0$ in den Nullring ist stets ein Ringhomomorphismus, dagegen ist die umgekehrte Abbildung, also ${}0\rightarrow R$, nur bei ${}R=0$ ein Ringhomomorphismus.

Lemma

Es seien ${}R,S,T$ Ringe.

Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die Identität ${}\operatorname {Id} \colon R\rightarrow R$ ist ein Ringhomomorphismus.
2. Sind ${}\varphi :R\rightarrow S$ und ${}\psi :S\rightarrow T$ Ringhomomorphismen, so ist auch die Hintereinanderschaltung

   $\psi \circ \varphi \colon R\longrightarrow T$

   ein Ringhomomorphismus.

3. Ist ${}R\subseteq S$ ein Unterring, so ist die Inklusion ${}R\hookrightarrow S$ ein Ringhomomorphismus.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$