Rotationsfläche/Differenzierbare positive Kurve/Graph/Geodätische/Fakt/Beweis

Beweis

1. Die Kurve ${}\theta$ bewegt sich in der Ebene ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+\mathbb {R} {\begin{pmatrix}0\\\cos \alpha \\\sin \alpha \end{pmatrix}}$. Nach einer Drehung können wir ohne Einschränkung ${}\alpha =0$ annehmen, die Kurve durchläuft also direkt den Graphen von ${}f$. Wegen der Bogenparametrisierung steht

   ${}\theta '(t)={\begin{pmatrix}\gamma '(t)\\f'(\gamma (t))\gamma '(t)\\0\end{pmatrix}}\,$

   nach Aufgabe senkrecht auf

   ${}\theta ^{\prime \prime }(t)={\begin{pmatrix}\gamma ^{\prime \prime }(t)\\f'(\gamma (t))\gamma ^{\prime \prime }(t)+f^{\prime \prime }(\gamma (t)){\left(\gamma ^{\prime }(t)\right)}^{2}\\0\end{pmatrix}}\,.$

   Dies bedeutet, dass die Beschleunigung senkrecht auf dem Tangentialraum (der neben der Kurvenableitung von ${}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ erzeugt wird) steht und daher die tangentiale Beschleunigung gleich ${}0$ ist. Also liegt eine Geodätische vor.

2. Die Kreisbewegung spielt sich auf der durch das fixierte ${}x$ gegebenen Ebene ab, die Ableitung (nach ${}\alpha$) der gegebenen Kurve ist ${}f(x){\begin{pmatrix}0\\-\sin \alpha \\\cos \alpha \end{pmatrix}}$ und die Beschleunigung der gegebenen Kurve ist gleich ${}-f(x){\begin{pmatrix}0\\\cos \alpha \\\sin \alpha \end{pmatrix}}$. Die Beschleunigung ist damit innerhalb der Ebene senkrecht zur Geschwindigkeit der Kurve, die einen Tangentialvektor der Rotationsfläche bildet. Ein dazu linear unabhängiger Tangentialvektor ist durch ${}{\begin{pmatrix}1\\f'(x)\\0\end{pmatrix}}$ gegeben. Dieser steht aber nur bei ${}f'(x)=0$ stets senkrecht auf der Beschleunigung.

Zur bewiesenen Aussage