Rotationsfläche/Differenzierbare positive Kurve/Graph/Geodätische/Fakt/Beweis

Beweis
  1. Die Kurve bewegt sich in der Ebene . Nach einer Drehung können wir ohne Einschränkung annehmen, die Kurve durchläuft also direkt den Graphen von . Wegen der Bogenparametrisierung steht

    nach Aufgabe senkrecht auf

    Dies bedeutet, dass die Beschleunigung senkrecht auf dem Tangentialraum (der neben der Kurvenableitung von erzeugt wird) steht und daher die tangentiale Beschleunigung gleich ist. Also liegt eine Geodätische vor.

  2. Die Kreisbewegung spielt sich auf der durch das fixierte gegebenen Ebene ab, die Ableitung (nach ) der gegebenen Kurve ist und die Beschleunigung der gegebenen Kurve ist gleich . Die Beschleunigung ist damit innerhalb der Ebene senkrecht zur Geschwindigkeit der Kurve, die einen Tangentialvektor der Rotationsfläche bildet. Ein dazu linear unabhängiger Tangentialvektor ist durch gegeben. Dieser steht aber nur bei stets senkrecht auf der Beschleunigung.