Rotationsfläche/Graph der Exponentialfunktion im Negativen/Kleiner 10/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Oberfläche für ${}s\leq x\leq 0$ mit einer beliebigen negativen Zahl ${}s$. Der Flächeninhalt ist nach der Rotationsformel gleich

$2\pi \int _{s}^{0}{\sqrt {1+e^{2t}}}e^{t}dt.$

Da ${}t$ sich im negativen Bereich bewegt, ist ${}e^{2t}\leq 1$ und somit ist der Integrand ${}\leq {\sqrt {2}}e^{t}$. Damit ist dieses Integral kleiner/gleich

${}2\pi {\sqrt {2}}\int _{s}^{0}e^{t}dt=2\pi {\sqrt {2}}(1-e^{s})\leq 2\pi {\sqrt {2}}\leq 2\cdot 3{,}2\cdot 1{,}5=2\cdot 4{,}8<10\,.$

Diese Abschätzung gilt auch für ${}s\rightarrow -\infty$.

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