SLnC/Endliche Untergruppe/Konjugiert zu SUnC/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ das Standardskalarprodukt auf dem ${}{\mathbb {C} }^{n}$. Wir definieren zuerst unter Bezug auf die endliche Gruppe

${}G\subseteq \operatorname {SL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\,$

ein neues Skalarprodukt auf ${}{\mathbb {C} }^{n}$, nämlich

${}\Phi (w,z):={\frac {1}{\#\left(G\right)}}\sum _{\sigma \in G}\left\langle \sigma w,\sigma z\right\rangle \,.$

Nach Aufgabe handelt es sich in der Tat um ein Skalarprodukt. Für ein Gruppenelement ${}\tau \in G$ ist ferner

${}\Phi (\tau w,\tau z)={\frac {1}{\#\left(G\right)}}\sum _{\sigma \in G}\left\langle \sigma \tau w,\sigma \tau z\right\rangle ={\frac {1}{\#\left(G\right)}}\sum _{\sigma \in G}\left\langle \sigma w,\sigma z\right\rangle =\Phi (w,z)\,,$

da ja insgesamt über die gleichen Gruppenelemente aufsummiert wird. Die zu ${}G$ gehörenden linearen Abbildungen sind also unitär bezüglich ${}\Phi$. Es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von ${}{\mathbb {C} }^{n}$ bezüglich ${}\Phi$ und sei ${}M$ die Matrix, deren Spalten die ${}u_{i}$ sind. Wir betrachten die konjugierte Gruppe

${}H:=M^{-1}GM\,,$

also

${}H={\left\{M^{-1}\sigma M\mid \sigma \in G\right\}}\,.$

Dabei gilt die Beziehung

${}\left\langle w,z\right\rangle =\Phi (Mw,Mz)\,,$

da dies für die Standardbasis git. Für ${}\tau \in H$ und ${}w,z\in {\mathbb {C} }^{n}$ gilt

${}{\begin{aligned}\left\langle \tau w,\tau z\right\rangle &=\left\langle M^{-1}\sigma Mw,M^{-1}\sigma Mz\right\rangle \\&=\Phi (\sigma Mw,\sigma Mz)\\&=\Phi (Mw,Mz)\\&=\left\langle w,z\right\rangle ,\end{aligned}}$

d.h. ${}H$ ist bezüglich des Standardskalarproduktes unitär. Wegen

${}\tau =M^{-1}\sigma M\,$

und ${}\sigma \in \operatorname {SL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ besitzt auch ${}\tau$ die Determinante ${}1$, und daher ist ${}H\subseteq \operatorname {SU} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$.

Zur bewiesenen Aussage