SU2C/Element der Ordnung 2/Fakt/Beweis

Beweis

Sei

${}M={\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}}\,$

mit ${}u=a+b{\mathrm {i} }$ , ${}v=c+d{\mathrm {i} }$ und mit ${}M^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$. Das bedeutet

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}u^{2}-v{\overline {v}}&-u{\overline {v}}-{\overline {u}}{\overline {v}}\\uv+{\overline {u}}v&-v{\overline {v}}+{\overline {u}}{\overline {u}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Wir nehmen zunächst ${}v\neq 0$ an. Daraus folgt ${}u+{\overline {u}}=0$, also ist der Realteil von ${}u$ gleich ${}0$. Daher ist ${}u$ imaginär und sein Quadrat ist negativ. Dann ist aber auch ${}u^{2}-v{\overline {v}}$ negativ und nicht gleich ${}1$. Also ist ${}v=0$. Dann ist ${}u^{2}=1$ und somit ist ${}u=\pm 1$.

Zur bewiesenen Aussage