SU2C und SO3R/Gruppenbeziehung/2/Fakt/Beweis

Beweis

Explizite Variante:

Um zu zeigen, dass ein Gruppenhomomorphismus vorliegt, seien ${}{\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}w&-{\overline {z}}\\z&{\overline {w}}\end{pmatrix}}$ mit

$u=a+bi,\,v=c+di,\,w=e+fi,\,z=g+hi$

gegeben. Ihr Produkt ist

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}w&-{\overline {z}}\\z&{\overline {w}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}uw-{\overline {v}}z&-u{\overline {z}}-{\overline {vw}}\\vw+{\overline {u}}z&-v{\overline {z}}+{\overline {uw}}\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}$

und dabei ist

${}{\begin{aligned}uw-{\overline {v}}z&={\left(a+bi\right)}{\left(e+fi\right)}-{\left(c-di\right)}{\left(g+hi\right)}\\&=ae-bf-cg-dh+{\left(af+be-ch+dg\right)}i\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}vw+{\overline {u}}z&={\left(c+di\right)}{\left(e+fi\right)}-{\left(a-bi\right)}{\left(g+hi\right)}\\&=ce-df-ag-bh+{\left(cf+de-ah+bg\right)}i.\end{aligned}}$

Wir zeigen die Gleichheit exemplarisch für den Matrixeintrag links oben. Das Ergebnis für diesen Eintrag ist einerseits (von der letzten Matrix ausgehend) gleich

${}{\begin{aligned}{\left(ae-bf-cg-dh\right)}^{2}+{\left(ce-df-ag-bh\right)}^{2}-{\left(af+be-ch+dg\right)}^{2}-{\left(cf+de-ah+bg\right)}^{2}&=a^{2}e^{2}+b^{2}f^{2}+c^{2}g^{2}+d^{2}h^{2}+c^{2}e^{2}+d^{2}f^{2}+a^{2}g^{2}+b^{2}h^{2}-a^{2}f^{2}-b^{2}e^{2}-c^{2}h^{2}-d^{2}g^{2}-c^{2}f^{2}-d^{2}e^{2}-a^{2}h^{2}-b^{2}g^{2}-2aebf-2aecg-2aedh+2bfcg+2cgdh-2cedf-2ceag-2cebh+2dfag+2dfbh+2agbh-2afbe+2afch-2afdg+2bech-2bedg+2chdg-2cfde+2cfah-2cfbg+2deah-2debg+2ahbg\\\end{aligned}}$

und andererseits gleich

${}{\begin{aligned}{\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)}{\left(e^{2}+f^{2}-g^{2}-h^{2}\right)}+4{\left(-ad+bc\right)}{\left(eh+fg\right)}+4{\left(ac+bd\right)}{\left(-eg+fh\right)}&=\\\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage

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