Sarrus-Determinante/4x4/Eigenschaften/Aufgabe

Die Sarrusminante einer ${}n\times n$-Matrix berechnet sich, indem man die ersten ${}n-1$ Spalten der Matrix in der gleichen Reihenfolge an die Matrix anfügt und dann die ${}n$ Produkte der Hauptdiagonalen aufaddiert und die ${}n$ Produkte der Nebendiagonalen davon subtrahiert. Wir beschränken uns auf den Fall ${}n=4$. Für eine Matrix

${}M={\begin{pmatrix}a&b&c&d\\e&f&g&h\\l&m&n&p\\q&r&s&t\end{pmatrix}}\,$

betrachtet man also

${\begin{pmatrix}a&b&c&d&a&b&c\\e&f&g&h&e&f&g\\l&m&n&p&l&m&n\\q&r&s&t&q&r&s\end{pmatrix}}$

und die Sarrusminante ist

${}\operatorname {sar} _{}^{}{\left(M\right)}=afnt+bgpq+chlr+dems-qmgd-rnha-speb-tlfc\,.$

1. Zeige, dass die Abbildung

   $\Psi \colon \operatorname {Mat} _{4}(K)\longrightarrow K,\,M\longmapsto \operatorname {sar} _{}^{}{\left(M\right)},$

   multilinear (in den Zeilen der Matrix) ist.

2. Zeige, dass für ${}4\times 4$-Matrizen, die eine Nullzeile enthalten, die Sarrusminante ${}0$ ist.
3. Zeige, dass für ${}4\times 4$-Matrizen, die eine Nullspalte enthalten, die Sarrusminante ${}0$ ist.
4. Zeige, dass für eine obere Dreiecksmatrix die Sarrusminante das Produkt der Diagonalelemente ist.
5. Zeige, dass die Sarrusminante nicht alternierend ist.
6. Man gebe ein Beispiel für eine invertierbare Matrix, deren Sarrusminante gleich ${}0$ ist.
7. Man gebe ein Beispiel für eine nicht-invertierbare Matrix, deren Sarrusminante gleich ${}1$ ist.

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