Satz über die Umkehrabbildung/C/Stetig differenzierbar/Fakt

Der Satz über die Umkehrabbildung

Es seien ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {C} }$-Vektorräume, sei ${}G\subseteq V_{1}$ offen und es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow V_{2}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}P\in G$ ein Punkt derart, dass das totale Differential

$\left(D\varphi \right)_{P}$

bijektiv ist.

Dann gibt es eine offene Menge ${}U_{1}\subseteq G$ und eine offene Menge ${}U_{2}\subseteq V_{2}$ mit ${}P\in U_{1}$ und mit ${}\varphi (P)\in U_{2}$ derart, dass ${}\varphi$ eine Bijektion

$\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

induziert, und dass die Umkehrabbildung

$(\varphi {|}_{U_{1}})^{-1}\colon U_{2}\longrightarrow U_{1}$

ebenfalls stetig differenzierbar ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen