Satz über implizite Abbildungen/E8-Singularität/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung

$F\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}+y^{3}+z^{5}$

und die Faser

${}Z=F^{-1}(0)\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,.$

Die Jacobi-Matrix ist

$\left(2x,\,3y^{2},\,5z^{4}\right)$

mit dem einzigen singulären Punkt ${}(0,0,0)\in Z$. Das bedeutet, dass ${}Z\setminus \{(0,0,0)\}$ eine zweidimensionale reelle Mannigfaltigkeit ist. Es ist keineswegs klar, dass ganz ${}Z$ keine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist, nur weil man den Satz über implizite Abbildungen im Nullpunkt nicht anwenden kann. Es handelt sich sogar um eine topologische Mannigfaltigkeit, siehe Aufgabe. Das entsprechende Gebilde über den komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ ist keine topologische Mannigfaltigkeit.