Satz über implizite Abbildungen/R/Beweis im linearen surjektiven Fall/Aufgabe/Lösung

Es ist ${}G=\mathbb {R} ^{n}$ und ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$ sei ein beliebiger Punkt. Bei einer linearen Abbildung stimmt das totale Differential mit der linearen Abbildung überein. Da diese nach Voraussetzung surjektiv ist, sind die Voraussetzungen des Satzes für jeden Punkt erfüllt. Ferner folgt ${}n\geq m$ aus der Surjektivität. Es sei ${}L=\operatorname {kern} \varphi$ der Kern der linearen Abbildung, der nach dem Dimensionssatz die Dimension ${}n-m$ besitzt. Daher gibt es eine lineare Isomorphie ${}\mathbb {R} ^{n-m}\cong L$, die eine lineare injektive Abbildung ${}\theta \colon \mathbb {R} ^{n-m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ definiert.

Die Faser ${}Z$ durch ${}P$, also das Urbild von ${}\varphi (P)$, ist die Teilmenge

$P+L={\left\{P+v\mid v\in L\right\}}$

und ergibt sich daher aus dem Kern durch verschieben um ${}P$. Insgesamt erhalten wir

$\psi :V=\mathbb {R} ^{n-m}{\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{n}{\stackrel {+P}{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{n}=W,$

wobei vorne eine lineare injektive Abbildung (deren Bild gleich ${}L$ ist) und hinten eine Verschiebung steht. Daher ist die Abbildung ${}\psi$ stetig differenzierbar und injektiv. Das Bild von ${}\psi$ ist nach der Vorüberlegung genau ${}Z$, sodass eine Bijektion ${}\mathbb {R} ^{n-m}\cong Z$ vorliegt.

Als Verknüpfung einer linearen Einbettung und einer Verschiebung ist ${}\psi$ in jedem Punkt regulär. Das totale Differential von ${}\psi$ ist ${}\theta$, da das totale Differential einer Verschiebung die Identität ist. Wegen ${}\varphi \circ \theta =0$ gilt auch der Zusatz.

Zur gelösten Aufgabe