Satz von Green/Direkter Beweis für Dreieck/Aufgabe/Lösung

Es seien

$P_{1}={\begin{pmatrix}a_{1}\\b_{1}\end{pmatrix}},\,P_{2}={\begin{pmatrix}a_{2}\\b_{2}\end{pmatrix}}{\text{ und }}P_{3}={\begin{pmatrix}a_{3}\\b_{3}\end{pmatrix}}$

die drei Eckpunkte. Wegen ${}d(xdy)=dx\wedge dy$ ist das Integral zu dieser Flächenform über ${}D$ gleich dem Flächeninhalt des Dreiecks. Dieses Dreieck wird von ${}P_{1}$ aus von den beiden Vektoren ${}{\begin{pmatrix}a_{2}-a_{1}\\b_{2}-b_{1}\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}a_{3}-a_{1}\\b_{3}-b_{1}\end{pmatrix}}$ aufgespannt. Der Flächeninhalt ist nach der Determinantenformel für ein Parallelotop somit gleich

${}{\frac {1}{2}}\vert {(a_{2}-a_{1})(b_{3}-b_{1})-(b_{2}-b_{1})(a_{3}-a_{1})}\vert ={\frac {1}{2}}\vert {a_{2}b_{3}-a_{2}b_{1}-a_{1}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{1}b_{2}+a_{3}b_{1}}\vert \,.$

Wenn die beiden Vektoren die Standardorientierung repräsentieren, was wir von nun an annehmen, so kann man den Betrag weglassen.

Wir berechnen nun das Wegintegral zu ${}xdy$ entlang des gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Dreiecksrandes. Dabei geht der Weg von ${}P_{1}$ nach ${}P_{2}$, dann nach ${}P_{3}$ und zurück zu ${}P_{1}$ (dies entspricht dem entgegengesetzten Uhrzeigersinn bei der fixierten Orientierung). Diese linearen Wege sind (jeweils auf dem Einheitsintervall definiert)

$\gamma _{1}(t)=P_{1}+t(P_{2}-P_{1})={\begin{pmatrix}a_{1}\\b_{1}\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}a_{2}-a_{1}\\b_{2}-b_{1}\end{pmatrix}},$

$\gamma _{2}(t)=P_{2}+t(P_{3}-P_{2})={\begin{pmatrix}a_{2}\\b_{2}\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}a_{3}-a_{2}\\b_{3}-b_{2}\end{pmatrix}}$

und

$\gamma _{3}(t)=P_{3}+t(P_{1}-P_{3})={\begin{pmatrix}a_{3}\\b_{3}\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}a_{1}-a_{3}\\b_{1}-b_{3}\end{pmatrix}}.$

Es ist

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma _{1}}xdy&=\int _{0}^{1}(a_{1}+t(a_{2}-a_{1}))(b_{2}-b_{1})dt\\&=(a_{1}(b_{2}-b_{1})t+{\frac {1}{2}}(a_{2}-a_{1})(b_{2}-b_{1})t^{2})|_{0}^{1}\\&=a_{1}(b_{2}-b_{1})+{\frac {1}{2}}(a_{2}-a_{1})(b_{2}-b_{1})\\&={\frac {1}{2}}(a_{2}+a_{1})(b_{2}-b_{1}).\end{aligned}}$

Entsprechend ist

${}\int _{\gamma _{2}}xdy={\frac {1}{2}}(a_{3}+a_{2})(b_{3}-b_{2})\,$

und

${}\int _{\gamma _{3}}xdy={\frac {1}{2}}(a_{1}+a_{3})(b_{1}-b_{3})\,.$

Die Summe dieser drei Wegintegrale ist die Hälfte von

${}{\begin{aligned}(a_{2}+a_{1})(b_{2}-b_{1})+(a_{3}+a_{2})(b_{3}-b_{2})+(a_{1}+a_{3})(b_{1}-b_{3})&=a_{2}b_{2}-a_{2}b_{1}+a_{1}b_{2}-a_{1}b_{1}+a_{3}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{2}b_{3}-a_{2}b_{2}+a_{1}b_{1}-a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}-a_{3}b_{3}\\&=-a_{2}b_{1}+a_{1}b_{2}-a_{3}b_{2}+a_{2}b_{3}-a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1},\,\end{aligned}}$

sodass die beiden Integrale übereinstimmen.

Zur gelösten Aufgabe