Schema/Geometrisches Vektorbündel/Als Schema/Definition

Geometrisches Vektorbündel

Es sei ${}X$ ein Schema. Ein Schema ${}V$ zusammen mit einem Morphismus ${}p\colon V\rightarrow X$ heißt geometrisches Vektorbündel vom Rang ${}r$ über ${}X$, wenn es eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und ${}U_{i}$-Isomorphismen

$\psi _{i}\colon U_{i}\times {{\mathbb {A} }_{}^{r}}={{\mathbb {A} }_{U_{i}}^{r}}\longrightarrow V{|}_{U_{i}}=p^{-1}(U_{i})$

derart gibt, dass für jede offene affine Teilmenge ${}U\subseteq U_{i}\cap U_{j}$ die Übergangsabbildungen

$\psi _{j}^{-1}\circ \psi _{i}\colon {{\mathbb {A} }_{U_{i}}^{r}}{|}_{U}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{U_{j}}^{r}}{|}_{U}$

lineare Automorphismen sind, also durch einen Automorphismus des Polynomringes ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})[T_{1},\ldots ,T_{r}]$ der Form ${}T_{i}\mapsto \sum _{j=1}^{r}a_{ij}T_{j}$ induziert sind.