Schema über R/Invertierbare Garbe/Schnitte/Morphismus in projektiven Raum/Korrespondenz/Fakt

Satz über invertierbare Garben und Morphismen

Es sei ${}X$ ein Schema über einem kommutativen Ring ${}R$.

Dann entsprechen sich die folgenden Konzepte.

1. Eine invertierbare Garbe ${}{\mathcal {L}}$ auf ${}X$ zusammen mit basispunktfreien Schnitten

   ${}s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}\,.$

2. Ein Morphismus

   $\varphi \colon X\longrightarrow {\mathbb {P} }_{R}^{n}$

   über ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$.

Dabei wird den Schnitten der zugehörige Morphismus ${}\varphi _{s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}}$ und dem Morphismus ${}\varphi$ die invertierbare Garbe ${}\varphi ^{*}({\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(1))$ zusammen mit den Schnitten ${}\varphi ^{*}(x_{i})$, ${}i=0,1,\ldots ,n$, zugeordnet.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen