Schnittmultiplizität/y^2-x^b,y^2-x^c/(0,0)/(1,1)/Unendlich ferner Schnittpunkt/Aufgabe/Lösung

a) Die Schnittmultiplizität ist die ${}K$-Vektorraum-Dimension von ${}K[X,Y]_{(X,Y)}/(Y^{2}-X^{b},Y^{2}-X^{c})$. Im lokalen Ring ${}K[X,Y]_{(X,Y)}$ gilt ${}X^{b}-X^{c}=X^{b}(1-X^{c-b})$ und ${}1-X^{c-b}$ ist eine Einheit. Daher gelten die Gleichheiten

${}{\begin{aligned}(Y^{2}-X^{b},Y^{2}-X^{c})&=(Y^{2}-X^{b},X^{b}-X^{c})\\&=(Y^{2}-X^{b},X^{b})\\&=(Y^{2},X^{b}).\end{aligned}}$

Somit ist

${}K[X,Y]_{(X,Y)}/(Y^{2}-X^{b},Y^{2}-X^{c})=K[X,Y]_{(X,Y)}/(Y^{2},X^{b})=K[X,Y]/(Y^{2},X^{b})\,,$

und dessen Dimension ist ${}2b$.

b) Die partiellen Ableitungen von ${}Y^{2}-X^{b}$ sind ${}(2Y,-bX^{b-1})$. Im Punkt ${}(1,1)$ ist dies ${}(2,-b)$. Daran sieht man, dass ein glatter Punkt vorliegt, dessen Tangente durch den Richtungsvektor ${}(b,2)$ gegeben ist. Entsprechendes gilt für ${}Y^{2}-X^{c}$. Daher schneiden sich die beiden Kurven in ${}(1,1)$ transversal und somit ist nach Fakt die Schnittmultiplizität gleich ${}1$.

c) Die Homogenisierungen der Kurvengleichungen sind ${}Y^{2}Z^{b-2}-X^{b}$ und ${}Y^{2}Z^{c-2}-X^{c}$.

Die unendlich fernen Schnittpunkte liegen in ${}{\mathbb {P} }_{K}^{2}\setminus D_{+}(Z)$, also auf ${}V_{+}(Z)$. Dies ergibt für beide Kurven die Bedingung ${}Z=X=0$ und den zusätzlichen Punkt ${}(0,1,0)$.

Zur gelösten Aufgabe