- Ist eine Eigenschaft der Division mit Rest.
- Wegen
-
ist
-
Bei der Division von
durch ist somit der ganzzahlige Anteil echt kleiner als .
- Dies folgt unmittelbar aus dem rekursiven Aufbau des Divisionsalgorithmus.
- Im Fall, dass für ein der Rest
ist, ergibt sich dies unmittelbar aus (3), wobei man
wählen kann. Nehmen wir also an, dass alle von verschieden sind. Da die Reste
-
allesamt zwischen
und
liegen, muss es in ihnen irgendwann eine Wiederholung geben, sagen wir, dass
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gilt. Da und allein von abhängt, wiederholt sich dann die Restfolge und die Ziffernfolge
-
unendlich oft periodisch.
- Aus der Division mit Rest
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ergibt sich direkt die entsprechende Division mit Rest
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woraus die Behauptung folgt.
- Der Divisionsalgorithmus ist in diesem Fall
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-
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u.s.w., woraus die Aussagen ablesbar sind.
- Wenn ein Dezimalbruch vorliegt, so können wir wegen (5) annehmen, dass
-
eine Zehnerpotenz ist. Dann folgt die Aussage mit der abbrechenden Ziffernfolge aus (6).
Wenn ein
,
so sind nach (3) alle folgenden Ziffern gleich . Wenn umgekehrt
für alle
gilt, so wird die Rekursionsbedingung für
zu
-
Nehmen wir
an. Dann ist
-
-
u.s.w., was zu einem Widerspruch führt, da nach
Fakt
die Zehnerpotenzen schließlich die Zahl überschreiten.
Wenn ein
ist, so folgt rekursiv aus
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bzw.
-
dass die Brüche
-
Dezimalbrüche sind. Somit ist auch ein Dezimalbruch.