- Ist eine Eigenschaft der Division mit Rest.
- Wegen
-
![{\displaystyle {}r_{-i}\leq b-1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84d51e20e723fa3f73beba29196cd683eb420135)
ist
-
![{\displaystyle {}10\cdot r_{-i}\leq 10\cdot (b-1)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69e1b2f539ca5a6669b985fce94e8422d0a48cdf)
Bei der Division von
durch
ist somit der ganzzahlige Anteil
echt kleiner als
.
- Dies folgt unmittelbar aus dem rekursiven Aufbau des Divisionsalgorithmus.
- Im Fall, dass für ein
der Rest
ist, ergibt sich dies unmittelbar aus (3), wobei man
wählen kann. Nehmen wir also an, dass alle
von
verschieden sind. Da die Reste
-
allesamt zwischen
und
liegen, muss es in ihnen irgendwann eine Wiederholung geben, sagen wir, dass
-
![{\displaystyle {}r_{-k-\ell }=r_{-k}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/380a687d9c1bcf1248f2b6234585493342336b13)
gilt. Da
und
allein von
abhängt, wiederholt sich dann die Restfolge und die Ziffernfolge
-
unendlich oft periodisch.
- Aus der Division mit Rest
-
![{\displaystyle {}10\cdot r_{-i}=z_{-i-1}\cdot b+r_{-i-1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87797bf7e1854a95442775d7c84277f84da0ad58)
ergibt sich direkt die entsprechende Division mit Rest
-
![{\displaystyle {}10\cdot {\left(m\cdot r_{-i}\right)}=z_{-i-1}\cdot {\left(m\cdot b\right)}+{\left(m\cdot r_{-i-1}\right)}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be935f4ea163d2b3111e2f96f7bedb1468f6d917)
woraus die Behauptung folgt.
- Der Divisionsalgorithmus ist in diesem Fall
-
![{\displaystyle {}\sum _{j=0}^{t}c_{j}10^{j}={\left(\sum _{j=s}^{t}c_{j}10^{j-s}\right)}10^{s}+\sum _{j=0}^{s-1}c_{j}10^{j}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41583fa8f4dc5125a792fc136891abbda2c97537)
-
![{\displaystyle {}10\cdot {\left(\sum _{j=0}^{s-1}c_{j}10^{j}\right)}=c_{s-1}10^{s}+10\cdot {\left(\sum _{j=0}^{s-2}c_{j}10^{j}\right)}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac7bfa09901ee6fe2e72e850d99752aec631886f)
-
![{\displaystyle {}10^{2}\cdot {\left(\sum _{j=0}^{s-2}c_{j}10^{j}\right)}=c_{s-2}10^{s}+10^{2}\cdot {\left(\sum _{j=0}^{s-3}c_{j}10^{j}\right)}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87a8aedfca80f60175bfcd008baf38c6bf11a4a5)
u.s.w., woraus die Aussagen ablesbar sind.
- Wenn ein Dezimalbruch vorliegt, so können wir wegen (5) annehmen, dass
-
![{\displaystyle {}b=10^{s}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4e3690dca0097c381074cfc5df3cf811d1d8dc8)
eine Zehnerpotenz ist. Dann folgt die Aussage mit der abbrechenden Ziffernfolge aus (6).
Wenn ein
,
so sind nach (3) alle folgenden Ziffern gleich
. Wenn umgekehrt
für alle
gilt, so wird die Rekursionsbedingung für
zu
-
![{\displaystyle {}10\cdot r_{-i}=r_{-i-1}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3e0936674557bd3ad93d8c2a4b3827aeda43700)
Nehmen wir
an. Dann ist
-
![{\displaystyle {}r_{-k-1}=10r_{-k}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/533c9626b3ecfeafd83e183c26a3b51cbf01f2ad)
-
![{\displaystyle {}r_{-k-3}=10r_{-k-1}=10^{2}r_{-k}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11bed72dc79fb092fb38e30f14850a1f1b341a44)
u.s.w., was zu einem Widerspruch führt, da nach
Fakt
die Zehnerpotenzen schließlich die Zahl
überschreiten.
Wenn ein
ist, so folgt rekursiv aus
-
![{\displaystyle {}10r_{-i}=z_{-i-1}\cdot b+r_{-i-1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cebb9142d39a687cf8e1794ec6bd32c0691ee82)
bzw.
-
![{\displaystyle {}{\frac {r_{-i}}{b}}={\frac {z_{-i-1}}{10}}+{\frac {r_{-i-1}}{10\cdot b}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ed6dc1563229986767bad4c353673b741867cb4)
dass die Brüche
-
Dezimalbrüche sind. Somit ist auch
ein Dezimalbruch.