Separable Erweiterung/Gebrochenes Ideal/Kodifferente/Spurdual/Homomorphismenmodul/Fakt/Beweis

Beweis

Die -Modulstruktur auf der Homomorphismenmenge ist durch

festgelegt. Nach der Definition der Kodifferente legt in der Tat eine Abbildung nach fest. Die Injektivität folgt aus der vorausgesetzten Separabilität. Zum Nachweis der Surjektivität sei eine -lineare Abbildung

gegeben. Diese können wir aufgrund der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme zu einer -linearen Abbildung

fortsetzen, wobei der Isomorphismus links auf dem Beweis zu Fakt beruht. Da die Spur im separablen Fall eine nichtausgeartete Bilinearform definiert, gibt es ein mit