Sigma-endlicher Maßraum/Messbare Funktion/Charakterisierung der Integrierbarkeit/Fakt/Beweis

Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) ist die Definition von integrierbar.
Für die Äquivalenz von (2) und (3) verwendet man die Beziehung ${}\vert {f}\vert =f_{+}+f_{-}$. Dabei ist der Subgraph von ${}\vert {f}\vert$ die Vereinigung der beiden Subgraphen zu ${}f_{+}$ bzw. ${}f_{-}$, wobei der Durchschnitt dieser Subgraphen aus der Menge ${}M\times \{0\}$ besteht und somit nach Aufgabe das Maß ${}0$ besitzt. Also ist

${}{\begin{aligned}\int _{M}\vert {f}\vert \,d\mu &={\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(\vert {f}\vert ))\\&={\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f_{+}))+{\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f_{-}))\\&=\int _{M}f_{+}\,d\mu +\int _{M}f_{-}\,d\mu ,\end{aligned}}$

und die beiden Summanden sind genau dann endlich, wenn die Summe endlich ist.
Aus (3) folgt (4), indem man ${}h=\vert {f}\vert$ nimmt.
Wenn (4) erfüllt ist, so ist der Subgraph von ${}\vert {f}\vert$ im Subgraphen von ${}h$ enthalten, und die Monotonie des Maßes ${}\mu \otimes \lambda ^{1}$ ergibt die Endlichkeit von ${}\int _{M}\vert {f}\vert \,d\mu$, also (3). Aus (3) folgt entsprechend (2), da der Subgraph von ${}f_{+}$ bzw. von ${}f_{-}$ eine Teilmenge des Subgraphen zu ${}\vert {f}\vert$ ist.

Zur bewiesenen Aussage