Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/K/Korrespondenz/Fakt/Beweis

Beweis

Die Zuordnungen von (1) nach (2) ist dabei durch die Definition gegeben. Aus einer Achsenraumkonfiguration ${}A$ erhält man einen simplizialen Komplex durch

${}\Delta _{A}={\left\{F\subseteq V\mid K^{F}\subseteq A\right\}}\,.$

Diese beiden Zuordnungen sind offenbar invers zueinander. Aus (2) erhält man (3), indem man die Achsenraumkonfiguration mit ${}H$ schneidet. Aus einer Menge ${}T$ wie in (3) beschrieben erhält man eine Achsenraumkonfiguration, indem man die Vereinigung der ${}K^{F}$ zu denjenigen ${}F$ nimmt, die einen Punkt in ${}H$ mit Träger ${}F$ besitzen. Auch diese Zuordnungen sind invers zueinander, da es zu einem Achsenraum ${}K^{F}$, der zu einer Achsenraumkonfiguration ${}A$ gehört, den Punkt ${}{\frac {1}{\#\left(F\right)}}\sum _{v\in F}e_{v}$ auf ${}A\cap H$ gibt, aus dem ${}A$ zurückkonstruiert wird.

Zur bewiesenen Aussage