Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/Nullstellengebilde/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt ist

${}{\begin{aligned}V{\left(\prod _{v\in A}X_{v}{|}A{\text{ Nichtseite von }}\Delta \right)}&=\bigcap _{A{\text{ Nichtseite von }}\Delta }V(\prod _{v\in A}X_{v})\\&=\bigcap _{A{\text{ Nichtseite von }}\Delta }\bigcup _{v\in A}V(X_{v}).\end{aligned}}$

Wenn ${}P\in K^{F}$ mit einer Seite ${}F$ von ${}\Delta$ ist, so sind sämtliche Koordinaten von ${}P$, die nicht zu ${}F$ gehören, gleich ${}0$. Wir können annehmen, dass ${}F$ eine Facette ist. Es sei ${}A$ eine Nichtseite. Dann ist ${}A\not \subseteq F$ und somit gibt es eine Ecke ${}z\in A$, ${}z\notin F$. Dann ist die ${}z$-te Komponente von ${}P$ gleich ${}0$ und somit ${}P\in V(X_{z})$ und ${}P$ gehört zur rechten Seite dazu. Es sei nun umgekehrt

${}P=(x_{v})\notin \bigcup _{F\in \Delta }K^{F}\,$

angenommen. Es sei ${}B\subseteq V$ der Träger von ${}P$, also ${}v\in B$ genau dann, wenn ${}x_{v}\neq 0$ ist. Dann ist ${}B$ eine Nichtseite, da andernfalls ${}P\in K^{B}\subseteq \bigcup _{F\in \Delta }K^{F}$ gelten würde. Wegen

${}P\notin \bigcup _{v\in B}V(X_{v})\,$

gehört ${}P$ auch nicht zur rechten Seite.

Zur bewiesenen Aussage