Simplizialer Komplex/K/Transpositionsbündel/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten über (bzw. auf dem punktierten Spektrum davon) ${}R=K[X,Y,Z]/(XYZ)$ die durch die Erzeuger ${}e_{1},e_{2},f_{1},f_{2},g_{1},g_{2}$ und die Relationen

${}y\cdot e_{1}=x\cdot f_{1}\,,$

${}y\cdot e_{2}=x\cdot f_{2}\,,$

${}z\cdot f_{1}=y\cdot g_{1}\,,$

${}z\cdot f_{2}=y\cdot g_{2}\,,$

${}z\cdot e_{1}=x\cdot g_{2}\,$

und

${}z\cdot e_{2}=x\cdot g_{1}\,$

gegebene ${}R$-Algebra ${}B$. Man beachte, dass im letzten Gleichungspaar die Indexreihenfolge vorne und hinten vertauscht ist. Es sei

${}U=D(x,y,z)\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}\,.$

Wir behaupten, dass die Einschränkung von ${}\operatorname {Spek} {\left(B\right)}$ ein Vektorbündel vom Rang zwei über ${}U$ ist. Auf ${}D(x)$ kann man mit dem ersten und dem dritten Gleichungspaar nach ${}f_{1},f_{2},g_{2},g_{1}$ auflösen und es verbleiben die Erzeuger ${}e_{1},e_{2}$. Bei diesen Substitutionen wird aus der ersten Gleichung des mittleren Gleichungspaars

${}zf_{1}=z{\frac {ye_{1}}{x}}=y{\frac {ze_{2}}{x}}=yg_{1}\,.$

Dabei ist die mittlere Gleichung aber automatisch erfüllt, da ja ${}xyz=0$ ist. Entsprechendes gilt für die zweite Gleichung. Somit ist nach der Nenneraufnahme an ${}x$ das mittlere Gleichungspaar überflüssig und es ist

${}B_{x}=R_{x}[e_{1},e_{2}]\,.$

Ebeneso sind ${}B_{y}$ und ${}B_{z}$ Polynomalgebren in zwei Variablen über der Basis.

Wenn man auf ${}D(x)$ als Erzeuger ${}{\frac {e_{1}}{x}},{\frac {e_{2}}{x}}$, auf ${}D(y)$ als Erzeuger ${}{\frac {f_{1}}{y}},{\frac {f_{2}}{y}}$ und auf ${}D(z)$ als Erzeuger ${}{\frac {g_{1}}{z}},{\frac {g_{2}}{z}}$ nimmt, so gilt auf den Zweierdurchschnitten

${}{\frac {g_{1}}{z}}={\frac {f_{1}}{y}}={\frac {e_{1}}{x}}={\frac {g_{2}}{z}}\,,$

wobei die „paradoxe“ Gleichung ${}{\frac {g_{1}}{z}}={\frac {g_{2}}{z}}$ nur auf der leeren Menge ${}D(xyz)$ gilt, also gegenstandslos ist. Die Übergangsmatrizen bezüglich dieser Erzeuger sind zweimal die Einheitsmatrix und einmal die Transpositionsmatrix.