Sinus/Parabel/Schnittpunkte/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten

${}f(x):=g(x)-h(x)=x^{2}+ax+b-\sin x\,.$

Die Schnittpunkte der Graphen von ${}g$ und ${}h$ sind die Nullstellen von ${}f$. Wir zeigen also, dass ${}f$ maximal zwei Nullstellen besitzt. Es ist

${}f'(x)=2x+a-\cos x\,$

und

${}f^{\prime \prime }(x)=2+\sin x\,.$

Da der Sinus Werte zwischen ${}-1$ und ${}1$ besitzt, ist

${}f^{\prime \prime }(x)\geq 1\,$

und überall positiv. Daher ist ${}f'$ streng wachsend. Insbesondere besitzt ${}f'$ höchstens eine Nullstelle ${}c$ (da die Ableitung davon größergleich ${}1$ ist, gibt es genau eine Nullstelle)

und somit ist ${}f'$ auf einem linksseitig offenen Intervall negativ und rechtsseitig davon positiv. Dies bedeutet für ${}f$ selbst, dass ${}f$ unterhalb von ${}c$ streng fallend und oberhalb von ${}c$ streng wachsend ist. In beiden Bereichen kann es nur eine Nullstelle geben.

Zur gelösten Aufgabe