Sinusbogen/Kreisbogen/Vergleich/Fläche/Aufgabe/Lösung

1. Es handelt sich um den oberen Halbkreis mit dem Mittelpunkt ${}(\pi /2,0)$ und dem Radius ${}\pi /2$. Für die Punkte ${}(x,y)$ auf dem Kreisbogen gilt

   ${}{\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)}^{2}+y^{2}={\frac {\pi ^{2}}{4}}\,,$

   somit ist der obere Halbbogen der Graph der Funktion

   ${}g(x)={\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{4}}-{\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)}^{2}}}={\sqrt {-x^{2}+x\pi }}={\sqrt {x(\pi -x)}}\,.$

2. Es ist

   ${}{\sqrt {x(\pi -x)}}\geq \sin x\,$

   auf ${}[0,\pi ]$ zu zeigen, wobei die Situation symmetrisch zur Achse durch ${}x=\pi /2$ ist. Da beide Funktionen nichtnegativ sind, genügt es, die quadrierte Abschätzung nachzuweisen, also

   ${}x(\pi -x)\geq \sin ^{2}x\,.$

   Beide Funktionen sind auf ${}[0,\pi /2]$ streng wachsend und haben im Nullpunkt den Wert ${}0$. Für ${}\pi /6\leq x\leq \pi /2$ ist

   ${}x(\pi -x)\geq {\frac {\pi }{6}}{\left(\pi -{\frac {\pi }{6}}\right)}={\frac {\pi }{6}}\cdot {\frac {5\pi }{6}}={\frac {5\pi ^{2}}{36}}>1\geq \sin ^{2}x\,.$

   Für ${}0\leq x\leq \pi /6$ vergleichen wir die Ableitungen der quadrierten FUnktionen. Es ist

   ${}(-x^{2}+\pi x)'=-2x+\pi \,$

   und

   ${}(\sin ^{2}x)'=2\sin x\cos x\,.$

   Im angegebenen Bereich ist

   ${}-2x+\pi \geq -2{\frac {\pi }{6}}+\pi ={\frac {2}{3}}\pi >2\geq 2\sin x\cos x\,,$

   die Funktion ${}g^{2}$ wächst also schneller als ${}\sin ^{2}x$ und somit gilt auch in diesem Abschnitt die Abschätzung.

3. Der Flächeninhalt unter dem Kreisbogen ist der halbe Flächeninhalt eines Kreises mit Radius ${}\pi /2$, also gleich

   ${}{\frac {1}{2}}\pi \left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}={\frac {\pi ^{3}}{8}}\,.$

   Der Flächeninhalt unter dem Sinusbogen ist

   ${}\int _{0}^{\pi }\sin xdx=-\cos x|_{0}^{\pi }=1+1=2\,.$

   Der eingeschlossene Flächeninhalt ist somit gleich

   ${\frac {\pi ^{3}}{8}}-2.$

Zur gelösten Aufgabe