Sinusfunktion/Iteration/Konvergenz/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Funktion

${}g(x)=x-\sin x\,$

auf ${}[0,{\frac {\pi }{2}}]$. Wegen

${}g'(x)=1-\cos x\,$

ist dies positiv für ${}x>0$ und gleich ${}0$ für ${}x=0$. Daher ist ${}g$ streng wachsend und es gilt

${}\sin x<x\,$

für ${}x>0$ und ${}\sin 0=0$. Daher ist die Folge zu jedem Startwert ${}x_{0}\in [0,{\frac {\pi }{2}}]$ fallend und konvergiert gegen einen Grenzwert, da alle Folgenglieder nichtnegativ sind. Es sei ${}a$ der Grenzwert, der wieder zu ${}[0,{\frac {\pi }{2}}]$ gehören muss. Wegen der rekursiven Beziehung

${}x_{n+1}=\sin x_{n}\,$

und der Stetigkeit des Sinus folgt

${}a=\sin a\,.$

Nach den bisherigen Überlegungen muss ${}a=0$

sein. Die Folge konvergiert also bei jedem Startwert gegen ${}0$.

Zur gelösten Aufgabe