Skalare Operation auf KX,Y/Invariantenring und Quotientenkörper/Beispiel

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper. Wir betrachten auf ${}R=K[X,Y]$ die Operation von ${}K^{\times }$ durch skalare Multiplikation. Zu ${}\lambda \in K^{\times }$ gehört also der durch ${}X\mapsto \lambda X,\,Y\mapsto \lambda Y$ gegebene ${}K$-Algebrahomomorphismus. Der Invariantenring dazu ist ${}K$, also ein Körper. Der Quotientenkörper von ${}K[X,Y]$ ist der Funktionenkörper ${}K(X,Y)$ in zwei Variablen. Sein Invariantenring unter der Operation ist ${}K{\left({\frac {X}{Y}}\right)}$, also der Funktionenkörper in einer Variablen. In dieser Situation gilt also

${}Q{\left(R^{G}\right)}\neq (Q(R))^{G}\,.$