Skalarprodukt/C/Polarisationsformel mit Norm/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist

${}{\begin{aligned}&\,\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v-w}\Vert ^{2}+{\mathrm {i} }\Vert {v+{\mathrm {i} }w}\Vert ^{2}-{\mathrm {i} }\Vert {v-{\mathrm {i} }w}\Vert ^{2}\\&=\left\langle v+w,v+w\right\rangle -\left\langle v-w,v-w\right\rangle +{\mathrm {i} }\left\langle v+{\mathrm {i} }w,v+{\mathrm {i} }w\right\rangle -{\mathrm {i} }\left\langle v-{\mathrm {i} }w,v-{\mathrm {i} }w\right\rangle \\&=2\left\langle v,w\right\rangle +2\left\langle w,v\right\rangle +{\mathrm {i} }\left\langle v+{\mathrm {i} }w,v+{\mathrm {i} }w\right\rangle -{\mathrm {i} }\left\langle v-{\mathrm {i} }w,v-{\mathrm {i} }w\right\rangle \\&=2\left\langle v,w\right\rangle +2\left\langle w,v\right\rangle +{\mathrm {i} }\left\langle v,{\mathrm {i} }w\right\rangle +{\mathrm {i} }\left\langle {\mathrm {i} }w,v\right\rangle -{\mathrm {i} }\left\langle v,-{\mathrm {i} }w\right\rangle -{\mathrm {i} }\left\langle -{\mathrm {i} }w,v\right\rangle \\&=2\left\langle v,w\right\rangle +2\left\langle w,v\right\rangle +\left\langle v,w\right\rangle -\left\langle w,v\right\rangle +\left\langle v,w\right\rangle -\left\langle w,v\right\rangle \\&=4\left\langle v,w\right\rangle .\end{aligned}}$

Division durch ${}4$ liefert das Resultat.

Zur bewiesenen Aussage