Skalarprodukt/K/Polarisationsformel mit Norm/Fakt

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$ -Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$ .

Dann gilt bei ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ die Beziehung

${}\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {w}\Vert ^{2}\right)}\,$

und bei ${}{\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ die Beziehung

\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{4}}{\left(\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v-w}\Vert ^{2}+{\mathrm {i} }\Vert {v+{\mathrm {i} }w}\Vert ^{2}-{\mathrm {i} }\Vert {v-{\mathrm {i} }w}\Vert ^{2}\right)}\,.