Skalarprodukt/R/Orthogonales Komplement/Untervektorraum/Aufgabe/Kommentar

Ein Vektor liegt im orthogonalen Komplement von , falls für alle gilt, dass und orthogonal zueinander stehen, d.h. . Häufig wird das orthogonale Komplement mit bezeichnet.

Um zu zeigen, dass das orthogonale Komplement selbst ein Untervektorraum ist (es ist eben der Untervektorraum, der senkrecht zu steht), müssen wir uns vergewissern, dass Addition und Skalarmultiplikation die Orthogonalitätsbeziehung erhalten. Tatsächlich gilt für , und :

sowie

wodurch gezeigt ist, dass die Orthogonalität erhalten bleibt. Hier geht wesentlich ein, dass das Skalarprodukt im ersten Argument linear ist.

Die Menge der zu orthogonalen Vektoren spielt also eine besondere Rolle. Beispielsweise ist die Menge kein Untervektorraum (Welche Menge wird hierdurch beschrieben, falls etwa ein eindimensionaler Unterraum des ist?).
Zur kommentierten Aufgabe