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Skalarprodukt/R/Polarisationsformel mit Norm/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung
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<
Skalarprodukt
|
R/Polarisationsformel mit Norm/Fakt
|
Beweis
|
Aufgabe
Es ist
‖
v
+
w
‖
2
−
‖
v
‖
2
−
‖
w
‖
2
=
⟨
v
+
w
,
v
+
w
⟩
−
⟨
v
,
v
⟩
−
⟨
w
,
w
⟩
=
⟨
v
,
v
⟩
+
⟨
v
,
w
⟩
+
⟨
w
,
v
⟩
+
⟨
w
,
w
⟩
−
⟨
v
,
v
⟩
−
⟨
w
,
w
⟩
=
⟨
v
,
w
⟩
+
⟨
w
,
v
⟩
=
2
⟨
v
,
w
⟩
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {w}\Vert ^{2}&=\left\langle v+w,v+w\right\rangle -\left\langle v,v\right\rangle -\left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle v,w\right\rangle +\left\langle w,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle -\left\langle v,v\right\rangle -\left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,w\right\rangle +\left\langle w,v\right\rangle \\&=2\left\langle v,w\right\rangle .\end{aligned}}}
Division durch
2
{\displaystyle {}2}
ergibt die Behauptung.
Zur gelösten Aufgabe