Skalarprodukt von Abbildungen/Richtungsableitung/Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume und

$f,g\colon G\longrightarrow W$

seien Abbildungen auf einer offenen Menge ${}G\subseteq V$, die in Richtung ${}v\in V$ differenzierbar seien. Zeige, dass dann auch die Abbildung

$h\colon G\longrightarrow \mathbb {R} ,\,P\longmapsto \left\langle f(P),g(P)\right\rangle ,$

in Richtung ${}v\in V$ differenzierbar ist, und dass

${}(D_{v}h)(P)=\left\langle f(P),(D_{v}g)(P)\right\rangle +\left\langle (D_{v}f)(P),g(P)\right\rangle \,$

gilt.

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