Skat/Wahrscheinlichkeiten/Bedingte Wahrscheinlichkeiten/Aufgabe/Lösung

1. Die Anzahl der möglichen „Hände“, die Spieler ${}A$ bekommen kann, beträgt ${}{\binom {32}{10}}$. Die Anzahl der Hände, die alle vier Buben umfassen, sind ${}{\binom {28}{6}}$. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, alle Buben zu bekommen, gleich

   ${}{\frac {\binom {28}{6}}{\binom {32}{10}}}={\frac {\,\,{\frac {28\cdot 27\cdots 23}{6\cdot 5\cdots 1}}\,\,}{\,\,{\frac {32\cdot 31\cdots 23}{10\cdot 9\cdots 1}}\,\,}}={\frac {10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{32\cdot 31\cdot 30\cdot 29}}={\frac {3\cdot 7}{4\cdot 31\cdot 29}}={\frac {21}{3596}}\,.$

2. Die drei Ereignisse sind disjunkt, daher ist die Wahrscheinlichkeit das Dreifache der Einzelwahrscheinlichkeiten, also gleich

   ${}3\cdot {\frac {21}{3596}}={\frac {63}{3596}}\,.$

3. Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler ${}A$ zwei Buben bekommt, beträgt (Welche zwei Buben? Welche acht anderen Karten?)

   ${}{\begin{aligned}{\frac {{\binom {4}{2}}\cdot {\binom {28}{8}}}{\binom {32}{10}}}&={\frac {\,\,6\cdot {\frac {28\cdot 27\cdots 21}{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdots 1}}\,\,}{\,\,{\frac {32\cdot 31\cdots 23}{10\cdot 9\cdots 1}}\,\,}}\\&={\frac {\,\,6\cdot {\frac {22\cdot 21}{1}}\,\,}{\,\,{\frac {32\cdot 31\cdot 30\cdot 29}{10\cdot 9}}\,\,}}\\&={\frac {10\cdot 9\cdot 6\cdot 22\cdot 21}{32\cdot 31\cdot 30\cdot 29}}\\&={\frac {3\cdot 3\cdot 11\cdot 21}{8\cdot 31\cdot 29}}\\&={\frac {2079}{7192}}.\end{aligned}}$

4. Es geht um die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass Spieler ${}B$ zwei Buben bekommt unter der Bedingung, dass Spieler ${}A$ zwei Buben bekommt. Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass sowohl Spieler ${}A$ als auch Spieler ${}B$ zwei Buben bekommt, muss man sich zunächst klar machen, dass es ${}{\binom {32}{10}}\cdot {\binom {22}{10}}$ Möglichkeiten gibt, je zehn Karten auf zwei Spieler zu verteilen. Es gibt ${}{\binom {4}{2}}$ Möglichkeiten, die Buben in zwei Hälften aufzuteilen, und es gibt ${}{\binom {28}{8}}\cdot {\binom {20}{8}}$ Möglichkeiten, die Nichtbuben auf diese zwei Spieler aufzuteilen. Also beträgt die Wahrscheinlichkeit

   ${}{\begin{aligned}{\frac {{\binom {4}{2}}\cdot {\binom {28}{8}}\cdot {\binom {20}{8}}}{{\binom {32}{10}}\cdot {\binom {22}{10}}}}&={\frac {\,\,6\cdot {\frac {28\cdot 27\cdots 21}{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdots 1}}\cdot {\frac {20\cdot 19\cdots 13}{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdots 1}}\,\,}{\,\,{\frac {32\cdot 31\cdots 23}{10\cdot 9\cdots 1}}\cdot {\frac {22\cdot 21\cdots 13}{10\cdot 9\cdots 1}}\,\,}}\\&={\frac {\,\,6\cdot {\frac {22\cdot 21}{1}}\,\,}{\,\,{\frac {32\cdot 31\cdot 30\cdot 29}{10\cdot 9}}\cdot {\frac {22\cdot 21}{10\cdot 9}}\,\,}}\\&={\frac {6\cdot 10^{2}\cdot 9^{2}}{32\cdot 31\cdot 30\cdot 29}}\\&={\frac {5\cdot 9^{2}}{8\cdot 31\cdot 29}}\\&={\frac {405}{7192}}.\end{aligned}}$

   Somit ist die bedingte Wahrscheinlichkeit gleich

   ${}{\frac {\frac {405}{7192}}{\frac {2079}{7192}}}={\frac {405}{2079}}={\frac {15}{77}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe