Sonnenbad/6 bis 22/-t^3+27t^2-120t/Optimale Stunde/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}a\in [6,21]$ der Anfangszeitpunkt des Sonnenbades. Die Gesamteinstrahlung der Sonne in der Stunde ${}[a,a+1]$ ist das bestimmte Integral

${}{\begin{aligned}S(a)&=\int _{a}^{a+1}(-t^{3}+27t^{2}-120t)\,dt\\&={\left(-{\frac {1}{4}}t^{4}+9t^{3}-60t^{2}\right)}|_{a}^{a+1}\\&={\left(-{\frac {1}{4}}(a+1)^{4}+9(a+1)^{3}-60(a+1)^{2}\right)}-{\left(-{\frac {1}{4}}a^{4}+9a^{3}-60a^{2}\right)}\\&=-{\frac {1}{4}}(4a^{3}+6a^{2}+4a+1)+9(3a^{2}+3a+1)-60(2a+1)\\&=-a^{3}+{\frac {51}{2}}a^{2}-94a-{\frac {205}{4}}.\,\end{aligned}}$

Für diese Funktion muss das Maximum im Intervall ${}[6,21]$ bestimmt werden. Dafür berechnen wir die Ableitung, diese ist

${}S'(a)={\left(-a^{3}+{\frac {51}{2}}a^{2}-94a-{\frac {205}{4}}\right)}^{\prime }=-3a^{2}+51a-94\,.$

Die Nullstellenberechnung dieser Ableitung führt auf ${}a^{2}-17a+{\frac {94}{3}}=0$ bzw. auf

${}{\left(a-{\frac {17}{2}}\right)}^{2}=-{\frac {94}{3}}+{\left({\frac {17}{2}}\right)}^{2}=-{\frac {94}{3}}+{\frac {289}{4}}={\frac {-376+867}{12}}={\frac {491}{12}}\,.$

Also ist

${}a_{0}={\sqrt {\frac {491}{12}}}+{\frac {17}{2}}\cong 14,8966\cong 14{\text{ Uhr }}54\,$

(die negative Wurzel muss nicht berücksichtigt werden, da diese zu einem ${}a$ außerhalb des Definitionsbereiches führt). Die zweite Ableitung

$S^{\prime \prime }(a)=-6a+51$

ist an der Stelle ${}a_{0}$ negativ, sodass dort das Maximum vorliegt. Da die Ableitung keine weiteren Nullstellen im Intervall besitzt, müssen die Randpunkte nicht gesondert betrachtet werden.

Zur gelösten Aufgabe