Spaltenstochastisch/Isometrisch bezüglich Summennorm/Fakt

Es sei

${}M=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\,$

eine reelle quadratische Matrix mit nichtnegativen Einträgen.

Dann ist ${}M$ genau dann spaltenstochastisch, wenn ${}M$ für Vektoren mit nichtnegativen Einträgen isometrisch bezüglich der Summennorm ist, wenn also

${}\Vert {Mv}\Vert _{\rm {sum}}=\Vert {v}\Vert _{\rm {sum}}\,$

für alle ${}v\in \mathbb {R} _{\geq 0}^{n}$ gilt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen