Spaltenstochastische Matrix/Kreisring/5/Beide Richtungen/Hintereinanderausführung/Aufgabe/Lösung

Die Wahrscheinlichkeiten, mit denen man ausgehend von einem Punkt zu einem weiteren Punkt gelangt, hängen nur von der relativen Position ab. Wir betrachten daher stets ${}1$ als Startpunkt. Die Zahlen seien im Uhrzeigersinn angeordnet.

1. Die einzige Möglichkeit, bei einer zweifachen Durchführung von ${}1$ nach ${}3$ zu gelangen, ist zweimal den Schritt mit dem Uhrzeigersinn zu machen. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist

   ${}{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {1}{9}}\,.$

   Dies ist auch die Wahrscheinlichkeit, um nach ${}4$ zu gelangen.

   Um von ${}1$ nach ${}2$ zu kommen, kann man zuerst stehenbleiben und dann mit dem Uhrzeigersinn springen oder zuerst springen und dann stehenbleiben. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist

   ${}{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {2}{9}}\,.$

   Dies ist auch die Wahrscheinlichkeit, um mit zwei Sprüngen nach ${}5$ zu gelangen.

   Um insgesamt stehen zu bleiben, kann man entweder zweimal stehenbleiben, oder einmal mit dem Uhrzeigersinn springen und dann zurück, oder umgekehrt. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist

   ${}{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {3}{9}}={\frac {1}{3}}\,.$

2. Wir berechnen diese Wahrscheinlichkeiten, die wir ${}q(j)$ nennen, unter Bezug auf die (in Teil (2) berechneten) Wahrscheinlichkeiten ${}p(i)$, dass man nach zwei Sprüngen an den verschiedenen Punkten ${}i$ ist, und den Wahrscheinlichkeiten, dass man mit dem dritten Sprung von ${}i$ nach ${}j$ kommt. Es ist

   ${}q(1)=p(5)\cdot {\frac {1}{3}}+p(1)\cdot {\frac {1}{3}}+p(0)\cdot {\frac {1}{3}}={\left({\frac {2}{9}}+{\frac {2}{9}}+{\frac {3}{9}}\right)}\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {7}{27}}\,.$

   Ferner ist

   ${}q(5)=q(2)=p(1)\cdot {\frac {1}{3}}+p(2)\cdot {\frac {1}{3}}+p(3)\cdot {\frac {1}{3}}={\left({\frac {3}{9}}+{\frac {2}{9}}+{\frac {1}{9}}\right)}\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {6}{27}}={\frac {2}{9}}\,.$

   Ferner ist

   ${}q(4)=q(3)=p(2)\cdot {\frac {1}{3}}+p(3)\cdot {\frac {1}{3}}+p(4)\cdot {\frac {1}{3}}={\left({\frac {2}{9}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{9}}\right)}\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {4}{27}}\,.$

3. Unter Bezug auf das Ergebnis von Teil (2) ist die Wahrscheinlichkeit gleich

   ${}q(1)\cdot {\frac {1}{3}}+q(2)\cdot {\frac {1}{3}}+q(5)\cdot {\frac {1}{3}}={\left({\frac {7}{27}}+{\frac {6}{27}}+{\frac {6}{27}}\right)}\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {19}{81}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe