Spektralradius/Maximumsnorm/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}\lambda$ ein Eigenwert von ${}\varphi$ mit

${}\vert {\lambda }\vert =\rho (\varphi )\,.$

Es sei ${}v\in V$ ein Eigenvektor zu ${}\lambda$. Dann ist

${}\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert =\Vert {\lambda v}\Vert =\Vert {\varphi (v)}\Vert \leq \Vert {\varphi }\Vert _{\rm {max}}\cdot \Vert {v}\Vert \,$

und Division durch ${}\Vert {v}\Vert$ liefert die Behauptung.

Zur bewiesenen Aussage