Spektrum/Faktorieller Bereich/Prägarbe/Strukturgarbe/Fakt/Beweis

Beweis

Die angegebene Zuordnung ist eine Prägarbe von kommutativen Ringen, deren Vergarbung gleich der Strukturgarbe ist. Wir müssen also zeigen, dass diese Prägarbe im faktoriellen Fall bereits eine Garbe ist. Es sei

von verschieden. Wegen der Faktorialität gibt es eine gekürzte Darstellung

Wir behaupten , sei also . Da auf definiert ist, gibt es nach Bemerkung eine Darstellung mit . Dies bedeutet in . Jeder Primfaktor von teilt aber nicht , also muss er teilen. Daher umfasst das Radikal von das Radikal von und somit ist .