Spektrum/Prägarbe/Beispiel

Es sei ${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ das Spektrum eines kommutativen Ringes ${}R$. Darauf definiert man eine Prägarbe von kommutativen Ringen, indem man zu einer offenen Menge ${}U\subseteq X$ die Festlegung

${}{\mathcal {P}}{\left(U\right)}=\operatorname {colim} _{U\subseteq D(f)}\,R_{f}\,$

macht, mit den natürlichen Ringhomomorphismen ${}R_{f}\rightarrow R_{g}$ zu ${}U\subseteq D(g)\subseteq D(f)$. Dies ist mit den natürlichen Ringhomomorphismen eine Prägarbe. Dabei ist ${}{\mathcal {P}}{\left(D(f)\right)}=R_{f}$ und insbesondere ${}{\mathcal {P}}{\left(X\right)}=R$, da das gerichtete System das finale Objekt ${}D(f)$ enthält. Der Halm dieser Prägarbe in einem Punkt ${}{\mathfrak {p}}\in X$ ist

${}\operatorname {colim} _{{\mathfrak {p}}\in U}\,{\mathcal {P}}{\left(U\right)}=\operatorname {colim} _{{\mathfrak {p}}\in D(f)}\,{\mathcal {P}}{\left(D(f)\right)}=\operatorname {colim} _{f\notin {\mathfrak {p}}}\,R_{f}=R_{\mathfrak {p}}\,.$