Spezielle lineare Gruppe/2/Z/Erzeuger/Fakt/Beweis

Beweis

Wir beweisen die Aussage, dass jede spezielle lineare Matrix ${}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ über ${}\mathbb {Z}$ in der von den beiden Matrizen erzeugten Untergruppe liegt, durch Induktion über ${}\vert {c}\vert$. Wenn dieser Betrag gleich ${}0$ ist, so ist ${}a=d=\pm 1$ und durch Multiplikation mit ${}S^{2}$ (siehe Fakt) können wir annehmen, dass die Diagonalelemente gleich ${}1$ sind. Dann ist die Matrix eine Potenz von ${}T$ (mit einem eventuell negativen Exponenten). Es sei die Aussage nun für alle speziellen linearen Matrizen mit ${}\vert {c}\vert <n$ bewiesen und sei eine spezielle lineare Matrix mit ${}\vert {c}\vert =n$ gegeben. Wegen der Präsenz von ${}S$ können wir annehmen, dass auch ${}a$ einen Betrag von zumindest ${}n$ besitzt. Durch Multiplikation mit ${}T$ oder mit ${}T^{-1}$ von links kann man dann die erste Spalte ${}{\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}}$ durch ${}{\begin{pmatrix}a\pm c\\c\end{pmatrix}}$ ersetzen und erhält, wenn man dies hinreichend oft ausführt, eine erste Spalte ${}{\begin{pmatrix}a'\\c\end{pmatrix}}$ mit ${}\vert {a'}\vert <n$, worauf wir nach Multiplikation mit ${}S$ die Induktionsvoraussetzung anwenden können.

Zur bewiesenen Aussage