Spur/Matrix/Lineare Abbildung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ eine ${}n\times n$-Matrix über ${}K$. Dann heißt

${}\operatorname {Spur} {\left(M\right)}:=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}\,$

die Spur von ${}M$.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung, die bezüglich einer Basis durch die Matrix ${}M$ beschrieben werde. Dann nennt man ${}\operatorname {Spur} {\left(M\right)}$ die Spur von ${}\varphi$, geschrieben ${}\operatorname {Spur} {\left(\varphi \right)}$.

Nach Aufgabe ist dies unabhängig von der gewählten Basis. Die Spur ist eine Linearform auf dem Vektorraum der quadratischen Matrizen bzw. auf dem Vektorraum der Endomorphismen.