Stammbruch/1 durch 77/Dezimalentwicklung/Periodenlänge/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt müssen wir die multiplikative Ordnung von ${}10$ in ${}\mathbb {Z} /(77)$ bestimmen. Wegen

${}77=7\cdot 11\,$

ist

${}\mathbb {Z} /(77)\cong \mathbb {Z} /(7)\times \mathbb {Z} /(11)\,.$

Die Ordnung von ${}10=3$ in ${}\mathbb {Z} /(7)$ ist wegen ${}3^{2}=2\neq 1$ und ${}3^{3}=2\cdot 3=6\neq 1$ gleich ${}6$. Die Ordnung von ${}10$ in ${}\mathbb {Z} /(11)$ ist wegen ${}10=-1$

gleich ${}2$. Daher ist die Ordnung von ${}10$ im Ausgangsring gleich ${}6$.

Zur gelösten Aufgabe