Stammfunktion/1+3 sechte Wurzel x-2 durch dritte Wurzel (x-2)^2 - Wurzel x-2/Aufgabe/Lösung

Wir führen nach und nach für Integrationsgrenzen ${}b>a>2$ die Substitutionen

${}x=u+2\,,$

${}u=v^{6}\,$

und

${}v=w+1\,$

durch und erhalten

${}{\begin{aligned}\int _{a}^{b}{\frac {1+3{\sqrt[{6}]{x-2}}}{{\sqrt[{3}]{(x-2)^{2}}}-{\sqrt {x-2}}}}dx&=\int _{a-2}^{b-2}{\frac {1+3u^{\frac {1}{6}}}{u^{\frac {2}{3}}-u^{\frac {1}{2}}}}du\\&=6\int _{(a-2)^{\frac {1}{6}}}^{(b-2)^{\frac {1}{6}}}{\frac {1+3v}{v^{4}-v^{3}}}v^{5}dv\\&=6\int _{(a-2)^{\frac {1}{6}}}^{(b-2)^{\frac {1}{6}}}{\frac {v^{2}+3v^{3}}{v-1}}dv\\&=6\int _{(a-2)^{\frac {1}{6}}-1}^{(b-2)^{\frac {1}{6}}-1}{\frac {(w+1)^{2}+3(w+1)^{3}}{w}}dw\\&=6\int _{(a-2)^{\frac {1}{6}}-1}^{(b-2)^{\frac {1}{6}}-1}{\frac {w^{2}+2w+1+3w^{3}+9w^{2}+9w+3}{w}}dw\\&=6\int _{(a-2)^{\frac {1}{6}}-1}^{(b-2)^{\frac {1}{6}}-1}3w^{2}+10w+11+{\frac {4}{w}}dw\\&=6\left(w^{3}+5w^{2}+11w+4\ln w\right)|_{(a-2)^{\frac {1}{6}}-1}^{(b-2)^{\frac {1}{6}}-1}.\end{aligned}}$

Eine Stammfunktion ist somit

$6{\left((x-2)^{\frac {1}{6}}-1\right)}^{3}+30{\left((x-2)^{\frac {1}{6}}-1\right)}^{2}+66{\left((x-2)^{\frac {1}{6}}-1\right)}+24\ln \left((x-2)^{\frac {1}{6}}-1\right).$

Zur gelösten Aufgabe