Stammfunktion/Negative Potenzen von quadratischen Polynomen/Rekursionsformel/Fakt/Beweis

Beweis

Ableiten ergibt

${}{\begin{aligned}{\left({\frac {1}{\sqrt {-\triangle }}}\arctan {\left({\frac {1}{\sqrt {-\triangle }}}{\left(x+{\frac {b}{2}}\right)}\right)}\right)}'&={\frac {1}{\sqrt {-\triangle }}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {-\triangle }}}\cdot {\frac {1}{1+{\frac {1}{-\triangle }}{\left(x+{\frac {b}{2}}\right)}^{2}}}\\&={\frac {1}{-\triangle +{\left(x+{\frac {b}{2}}\right)}^{2}}}\\&={\frac {1}{c-{\frac {b^{2}}{4}}+x^{2}+bx+{\frac {b^{2}}{4}}}}\\&={\frac {1}{x^{2}+bx+c}}.\end{aligned}}$

Zum Beweis der Rekursionsformel setzen wir ${}q(x):=x^{2}+bx+c$ und leiten ab.

${}{\begin{aligned}{\left((2x+b)q^{-n}\right)}'&=2q^{-n}-n(2x+b)q^{-n-1}(2x+b)\\&=2q^{-n}-nq^{-n-1}(2x+b)^{2}\\&=2q^{-n}-nq^{-n-1}{\left(4x^{2}+4xb+b^{2}\right)}\\&=2q^{-n}-nq^{-n-1}{\left(4q-4c+b^{2}\right)}\\&=2q^{-n}-4nq^{-n}+n{\left(4c-b^{2}\right)}q^{-n-1}\\&=(2-4n)q^{-n}+n{\left(4c-b^{2}\right)}q^{-n-1}.\end{aligned}}$

Division durch ${}n{\left(4c-b^{2}\right)}$ und Umstellen ergibt

$q^{-n-1}={\frac {1}{n{\left(4c-b^{2}\right)}}}{\left((2x+b)q^{-n}\right)}'+{\frac {4n-2}{n{\left(4c-b^{2}\right)}}}q^{-n}\,.$

Dies ist die Behauptung.

Zur bewiesenen Aussage