Stammfunktion/x^2 durch (x cos x -sin x)^2/Beispiel

Wir wollen eine Stammfunktion für die Funktion

${}f(x)={\frac {x^{2}}{(x\cos x-\sin x)^{2}}}\,$

bestimmen. Als Vorüberlegung berechnen wir die Ableitung von

${\frac {1}{x\cos x-\sin x}}.$

Diese ist

$-{\frac {\cos x-x\sin x-\cos x}{(x\cos x-\sin x)^{2}}}={\frac {x\sin x}{(x\cos x-\sin x)^{2}}}\,.$

Wir schreiben daher ${}f$ als ein Produkt ${}f(x)={\frac {x\sin x}{(x\cos x-\sin x)^{2}}}\cdot {\frac {x}{\sin x}}$ und wenden darauf partielle Integration an, wobei wir den ersten Faktor integrieren und den zweiten Faktor ableiten. Die Ableitung des zweiten Faktors ist

${}{\left({\frac {x}{\sin x}}\right)}'={\frac {\sin x-x\cos x}{\sin ^{2}x}}\,.$

Daher ist

${}{\begin{aligned}\int _{}^{}f(x)\,dx&={\frac {1}{x\cos x-\sin x}}\cdot {\frac {x}{\sin x}}-\int _{}^{}{\frac {1}{x\cos x-\sin x}}\cdot {\frac {\sin x-x\cos x}{\sin ^{2}x}}\,dx\\&={\frac {1}{x\cos x-\sin x}}\cdot {\frac {x}{\sin x}}+\int _{}^{}{\frac {1}{\sin ^{2}x}}\,dx\\&={\frac {1}{x\cos x-\sin x}}\cdot {\frac {x}{\sin x}}-\cot x.\end{aligned}}$