Standardraum/Multiplikation/K^2/Multiplikative Teilmengen/Beispiele/Aufgabe/Lösung

1. Ist multiplikativ abgeschlossen. Bei jedem möglichen Produkt sind die Komponenten ${}0$ oder ${}1$, gehören also wieder zu der Punktmenge.
2. Ist nicht multiplikativ abgeschlossen. Es ist ${}(1,3)$ ein Punkt der Geraden, aber

   ${}(1,3)\cdot (1,3)=(1,9)\,$

   ist kein Punkt der Geraden.

3. Ist multiplikativ abgeschlossen. Ein Produkt von zwei Punkten des Achsenkreuzes hat in mindestens einer Komponenten den Wert ${}0$ und gehört somit wieder zum Achsenkreuz.
4. Ist multiplikativ abgeschlossen. Es seien ${}(x,y)$ und ${}(z,w)$ Punkte der Hyperbel, also ${}xy=1$ und ${}zw=1$. Das Produkt der Punkte ist

   ${}(x,y)\cdot (z,w)=(xz,yw)\,$

   und wegen

   ${}(xz)\cdot (yw)=xzyw=xyzw=1\cdot 1=1\,$

   liegt das Produkt wieder auf der Hyperbel.

5. Ist multiplikativ abgeschlossen. Die Punkte auf der Parabel sind die Punkte der Form ${}(x,x^{2})$, und das Produkt von zwei solchen Punkten ist

   ${}(x,x^{2})\cdot (u,u^{2})=(xu,x^{2}u^{2})=(xu,(xu)^{2})\,,$

   und hat also wieder diese Form.

Zur gelösten Aufgabe