Nehmen wir an, dass 
nicht die Nullfunktion ist. Dann gibt es einen Punkt ![{\displaystyle {}c\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e96620a8d7941d7b882a2148f8703b82848ecad)
mit
.
Sagen wir
.
Da stetig ist, gibt es ein Teilintervall ![{\displaystyle {}J=[d,e]\subseteq [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4de6c58c8c63692b63e42bcaff09a79364b7178c)
mit 
für alle 
. Die Funktion 
sei außerhalb von 
die Nullfunktion und auf durch
-
definiert. Die Funktion ist stetig auf ![{\displaystyle {}[a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e5a6e660b5cdc1a9c76f6e6b0d486328c3f6937)
und im Innern von ![{\displaystyle {}[d,e]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5fdb19f1eae1769839a86893d1396e15fd4859b)
positiv, also insgesamt nichtnegativ. Daher gibt es ein weiteres Teilintervall ![{\displaystyle {}J'=[s,t]\subseteq J}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e4f8b2e8838ca29e5225a813b181b297cb51664)
derart, dass 
für alle 
ist. Daher ist
im Widerspruch zur Voraussetzung.
